Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（-

3

cosx，cosx+sinx），

n

=（sinx，

cosx-sinx

2

），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得f（x）=-

3

cosxsinx+（cosx+sinx）•

cosx-sinx

2

，再利用三角恒等變換，化簡可得f（x）=-sin（2x-

π

6

），
（1）由正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用正弦函數(shù)的最值的性質(zhì)，由2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得f（x）取最小值時相應(yīng)的x的集合．

解答： （本小題滿分12分）
解：由已知得 f(x)=-

3

2

sin2x+

1

2

(cos2x-sin2x)=-

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=-sin(2x-

π

6

)…（4分）
（1）f（x）的最小正周期為T=π…（6分）
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

時，f（x）是減函數(shù)…（8分）
∴f（x）的減區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z…（9分）
（2）當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

3

時，f（x）取得最小值-1，…（11分）
∴f（x）的最小值為-1，且相應(yīng)的x的集合為{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}…（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角恒等變換的應(yīng)用，突出考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力．