Question

（2013•石景山區(qū)一模）設(shè)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若∠AQB=90°，則直線l的方程為

x=1

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AQB=90°得k_AQ•k_BQ=-1，建立關(guān)系式并化簡得-y₁y₂=x₁x₂+（x₁+x₂）+1，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)將x₁x₂=1和y₁y₂=-4代入計(jì)算，可得x₁=x₂=1，即可得到直線l的方程．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵∠AQB=90°，
∴k_AQ•k_BQ=-1，可得

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即-y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）
整理可得-y₁y₂=x₁x₂+（x₁+x₂）+1…（*）
∵直線AB經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）
∴根據(jù)拋物線的性質(zhì)，可得x₁x₂=

1

4

p²=1，y₁y₂=-p²=-4
代入（*）得：4=1+（x₁+x₂）+1，可得x₁+x₂=2
結(jié)合x₁x₂=1，可得x₁=x₂=1，即A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，
∴直線AB的方程為x=1，即直線l的方程為x=1
故答案為：x=1

點(diǎn)評：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦AB的端點(diǎn)對點(diǎn)Q（-1，0）的張角等于90度，求直線AB的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．