已知圓C的圓心為直線x-y+1=0與2x+y-4=0的交點，且圓C與直線3x+4y+14=0相切．
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點P（-1，-2）作直線l，①證明：直線l與圓C恒相交；②求直線l被圓截得的弦長最短時的方程．
考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系
專題：直線與圓
分析：（1）求出圓的圓心坐標，利用圓心到直線的距離求出半徑，即可求圓C的標準方程；
（2）過點P（-1，-2）作直線l，①通過點與圓心的距離與半徑比較即可證明：直線l與圓C恒相交；
②利用圓心距，半徑，想的關系，即可求直線l被圓截得的弦長最短時的方程．
解答： （滿分12分）
解：（1）聯(lián)立
x-y+1=0
2x+y-4=0
得圓心為（1，2）
因為直線與圓相切，所以r=
|3+8+14|
5
=5
所以圓C的標準方程為（x-1）2+（y-2）2=25---------------------------------（4分）
（2）①|PC|=2
5
＜5所以點P在圓內(nèi)，
所以過圓內(nèi)一點作直線l與圓C恒相交------------------------（7分）
②l被圓截得的弦長最短，則圓心到直線的距離最大，此時PC⊥l----------（8分）
直線PC的斜率為2，所以直線l的斜率為-
1
2
--------------------------（10分）
l的方程為x+2y+5=0----------------------------------------（12分）
點評：本題考查圓的方程的求法，點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系的應用，基本知識的考查．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2在點（3，f（3））處的切線方程為12x+2y-27=0，且對任意的x∈[0，+∞），f′（x）≤kln（x+1）恒成立．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）=f′（x）+2ln（x+1）在[0，+∞）上的極值；
（Ⅲ）求實數(shù)k的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的準線與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）交于A、B兩點，點F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是 (
5
，+∞)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-x2+2x，x≥0
ax2+bx，x＜0
為奇函數(shù)．
（1）求a-b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，m-2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+x（x≥0），對于曲線y=f（x）上橫坐標成公差為1的等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷：其中所有正確的序號是
 
．
①△ABC一定是鈍角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能是等腰三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖為函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+C（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象的一部分．
（1）求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)區(qū)間．
（2）說明函數(shù)f（x）的圖象可以由y=sinx（x∈R）得圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．
（3）求與函數(shù)f（x）圖象關于直線x=2對稱的函數(shù)y=g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
2-
x+3
x+1
的定義域為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=kx+b（k＜0），且f[f（x）]=4x+1，則f（x）=（　　）
A、-2x-1
B、-2x+1
C、-x+1
D、-2x-
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a＞0，且a≠1，則函數(shù)y=ax-1+1的圖象一定過定點
 
．

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