Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）若不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值；
（2）（文）設(shè)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），若關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，求m的取值范圍．
（3）（理）設(shè)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），若f-1(1)=

1

3

，解關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將函數(shù)化為f(x)=log a

1+x

1-x

，然后將真數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)用求導(dǎo)數(shù)的方法討論其單調(diào)性，得出真數(shù)是關(guān)于x的增函數(shù)．最后分a＞1和0＜a＜1兩種情況對(duì)原不等式的解集加以討論，從而可以得出實(shí)數(shù)a的值；
（2）用解方程的方法，將x用y來(lái)表示，從而得出函數(shù)f^-1（x）的表達(dá)式，再討論得其值域?yàn)椋?1，1），欲使關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，m必須大于f^-1（x）的最小值，從而得到m≥-1；
（3）先解方程f-1(1)=

1

3

，得到a=2，從而得到函數(shù)f^-1（x）的表達(dá)式，再結(jié)合（2）的函數(shù)值域的結(jié)果，可以分：①當(dāng)m≥1時(shí)，②當(dāng)-1＜m＜1，③當(dāng)m≤-1時(shí)，三種情況下討論不等式f^-1（x）＜m的解集情況，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，得
f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=log a

1+x

1-x

（-1＜x＜1）
令t=

1+x

1-x

，得t/=

1-x+1+x

(1-x) 2

=

2

(1-x) 2

＞0
故t在區(qū)間（-1，1）上是關(guān)于x的單調(diào)增函數(shù)，
不等式|f（x）|＜2的解集為(-

1

2

，

1

2

)，分兩種情況加以討論：
①當(dāng)a＞1時(shí)，f(-

1

2

) =-2且f(

1

2

) =2
∴l(xiāng)og_a

1

2

-log_a

3

2

=-2⇒loga

1

3

=-2⇒a=

3

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(-

1

2

) =2且f(

1

2

) =-2，類似①的方法可得a=

3

3

綜上所述，得實(shí)數(shù)a的值為

3

或

3

3

；
（2）∵f(x)=log a

1+x

1-x

⇒x=

-1+ay

1+ay

∴f^-1（x）=

-1+ax

1+ax

=1-

2

1+ax

∵1+a^x＞1
∴1-

2

1+ax

∈(-1，1)
欲使關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，m必須大于f^-1（x）的最小值，所以m≥-1
故m的取值范圍是[-1，+∞）．
（3）由（2）得f-1(1)=

-1+a

1+a

=

1

3

⇒a=2，
對(duì)于關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m，由（2）知的f^-1（x）的值域?yàn)椋?1，1）
故分3種情形加以討論：
①當(dāng)m≥1時(shí)，有f^-1（x）＜1≤m，所以f^-1（x）＜m恒成立，得不等式的解集是R；
②當(dāng)-1＜m＜1，f^-1（x）＜m⇒1-

2

1+2x

＜m⇒2x＜

1+m

1-m

⇒x＜log2

1+m

1-m

∴不等式的解集是x∈（-∞，log2

1+m

1-m

）
由（2）知不等式f^-1（x）＜m的解集是空集．
綜上所述：當(dāng)m≤-1時(shí)原不等式的解集是空集，當(dāng)-1＜m＜1時(shí)原不等式的解集是x∈（-∞，log2

1+m

1-m

）；當(dāng)m≥1時(shí)，原不等式的解集是R．

點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域、反函數(shù)和不等式的解法等等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．本題的綜合性較強(qiáng)，在解題時(shí)注意分類討論與轉(zhuǎn)化化歸思路的適時(shí)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用．