【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn)
(1)證明:;
(2)若為棱上一點(diǎn),滿足,求銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見詳解;(2)
【解析】
(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證明;
(2)設(shè),由,求出,求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.
證明:(1)∵在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,
AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0),
,,
,
∴;
(2)∵F為棱PC上一點(diǎn),滿足,
∴設(shè),,
則,
,
∵,,
解得,
,
設(shè)平面ABF的法向量,
則,取,得,
平面ABP的一個(gè)法向量,
設(shè)二面角的平面角為,
則,
∴二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】藥材人工種植技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明:人工種植藥材時(shí),某種藥材在一定的條件下,每株藥材的年平均生長量單位:千克是每平方米種植株數(shù)x的函數(shù).當(dāng)x不超過4時(shí),v的值為2;當(dāng)時(shí),v是x的一次函數(shù),其中當(dāng)x為10時(shí),v的值為4;當(dāng)x為20時(shí),v的值為0.
當(dāng)時(shí),求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
當(dāng)每平方米種植株數(shù)x為何值時(shí),每平方米藥材的年生長總量單位:千克取得最大值?并求出這個(gè)最大值.年生長總量年平均生長量種植株數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子中有四個(gè)小球,分別寫有“文、明、中、國”四個(gè)字,有放回地從中任取一個(gè)小球,直到“中”“國”兩個(gè)字都取到就停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用0,1,2,3代表“文、明、中、國”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù):
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估計(jì),恰好第三次就停止的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí),某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)不超過4(尾/立方米)時(shí),的值為(千克/年);當(dāng)時(shí),是的一次函數(shù);當(dāng)達(dá)到(尾/立方米)時(shí),因缺氧等原因,的值為(千克/年).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度為多大時(shí),魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達(dá)到最大,并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題,其中所有正確命題的序號(hào)是__________.
①拋物線的準(zhǔn)線方程為;
②過點(diǎn)作與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線僅有1條;
③是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),以為圓心作與拋物線準(zhǔn)線相切的圓,則此圓一定過定點(diǎn).
④拋物線上到直線距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣的一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還”.其大意為:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,請(qǐng)問此人第2天走的路程為
A. 24里 B. 48里 C. 72里 D. 96里
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)若是奇函數(shù),求的值,并判斷的單調(diào)性(不用證明);
(2)若函數(shù)在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓錐如圖①所示,圖②是它的正(主)視圖.已知圓的直徑為, 是圓周上異于的一點(diǎn), 為的中點(diǎn).
(I)求該圓錐的側(cè)面積S;
(II)求證:平面⊥平面;
(III)若∠CAB=60°,在三棱錐中,求點(diǎn)到平面的距離.
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