Question

【題目】以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間[-M，M]。例如，當(dāng)， 時(shí)， ，現(xiàn)有如下命題：

①設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“”的充要條件是“”；

②若函數(shù)，則有最大值和最小值；

③若函數(shù)， 的定義域相同，且， ，則

④若函數(shù)，則有最大值且，

其中的真命題有_____________。（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】對(duì)于①，若f（x）∈A，則f（x）的值域?yàn)?/span>R，于是，對(duì)任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）=b，故①正確；

對(duì)于②，取函數(shù)f（x）=x（﹣1＜x＜1），其值域?yàn)椋ī?/span>1，1），于是，存在M=1，使得f（x）的值域包含于[﹣M，M]=[﹣1，1]，但此時(shí)f（x）沒(méi)有最大值和最小值，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)f（x）∈A時(shí)，由①可知，對(duì)任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）=b，

∴當(dāng)g（x）∈B時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）+g（x），如果存在一個(gè)正數(shù)M，使得f（x）+g（x）的值域包含于[﹣M，M]，那么對(duì)于該區(qū)間外的某一個(gè)b0∈R，一定存在一個(gè)a0∈D，使得f（a0）=b﹣g（a0），即f（a0）+g（a0）=b0[﹣M，M]，故③正確；

此時(shí)f（x）= （x＞﹣2），易知f（x）∈[﹣ ， ]，∴存在正數(shù)M=，使得f（x）∈[﹣M，M]，故④正確；

故答案為：①③④。