Question

選修4-2：矩陣與變換
若二階矩陣M滿(mǎn)足M

1 2 3 4

=

7 10 4 6

．
（Ⅰ）求二階矩陣M；
（Ⅱ）把矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換作用在曲線(xiàn)3x²+8xy+6y²=1上，求所得曲線(xiàn)的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：矩陣變換的性質(zhì)

專(zhuān)題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）先求矩陣A=

1 2 3 4

的逆矩陣，即可求二階矩陣M；
（Ⅱ）設(shè)二階矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換為

x′ y′

=

1 2 1 1

x y

，根據(jù)矩陣變換求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入已知曲線(xiàn)求出所求曲線(xiàn)即可．

解答： 解：（Ⅰ）記矩陣A=

1 2 3 4

，故|A|=-2，故A-1=

-2 1 3 2 - 1 2

．…2分
由已知得M=

7 10 4 6

A-1=

7 10 4 6

-2 1 3 2 - 1 2

=

1 2 1 1

．…3分
（Ⅱ）設(shè)二階矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換為

x′ y′

=

1 2 1 1

x y

，得

x′=x+2y y′=x+y

，
解得

x=-x′+2y′ y=x′-y′

，…5分
又3x²+8xy+6y²=1，故有3（-x'+2y'）²+8（-x'+2y'）（x'-y'）+6（x'-y'）²=1，
化簡(jiǎn)得x'²+2y'²=1．
故所得曲線(xiàn)的方程為x²+2y²=1．…7分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查來(lái)了逆矩陣與矩陣變換的性質(zhì)，熟練掌握矩陣的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．