20.已知一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上、離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線($x=\frac{a^2}{c}$)的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)一條直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且斜率為1,求直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離.

分析 (1)由題意可知:設(shè)橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),有橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線($x=\frac{a^2}{c}$)的距離為$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,聯(lián)立即可求得a和b的值,由b2=a2-c2=1,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線方程為y=x-$\sqrt{3}$,代入橢圓方程,有韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$,即可求得直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離.

解答 解:(1)由題意得:橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),
有橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線($x=\frac{a^2}{c}$)的距離為$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
代入即可求得:$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
b2=a2-c2=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$;
(2)由(1)可知:橢圓的右焦點(diǎn)為($\sqrt{3}$,0)不妨設(shè)直線方程為y=x-$\sqrt{3}$,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,整理得:5x2-8$\sqrt{3}$x+8=0,x1+x2=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$,x1x2=$\frac{8}{5}$,
∴直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$,
=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{(\frac{8\sqrt{3}}{5})^{2}-4×\frac{8}{5}}$=$\frac{8}{5}$.
直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離$\frac{8}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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