Question

f（x）=2

3

sinxcosx-2sin2x+a，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求出函數(shù)的取值范圍即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin2x+a=

3

sin2x+cos2x-1+a
=2sin（2x+

π

6

）+a-1，
則函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（2）若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，
則2sin（2x+

π

6

）+a-1=0有解，
即2sin（2x+

π

6

）=1-a，
∵-2≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
∴-2≤1-a≤2，
解得-1≤a≤3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍-1≤a≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．