精英家教網(wǎng)如圖:在空間四邊形ABCD中,AC=AD,BC=BD,且E是CD的中點.
(1)求證:平面ABE⊥平面BCD;
(2)若F是AB的中點,BC=AD,且AB=8,AE=10,求EF的長.
分析:對于(1),根據(jù)條件,只需證明平面BCD有一條直線垂直于平面ABE,而等腰三角形ACD、BCD有共同底邊CD,E為中點,因此容易證明CD與平面ABE垂直,從而問題得到解決;
對于(2)由BC=AD,可以判定三角形ABE為等腰三角形,由AB=8,AE=10,根據(jù)勾股定理可以解決EF的長度問題.
解答:解:(1)證明:因為AC=AD,BC=BD,且E是CD的中點,
所以BE⊥CD,且AE⊥CD,又AE∩BE=E,
所以CD⊥平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCD(5分)
(2)因為E是CD的中點,所以CE=ED,由(1)知BE⊥CD,
且AE⊥CD,所以BC2=BE2+CE2=BE2+ED2,AD2=AE2+ED2,
因為BC=AD,所以AE=BE(10分)
又因為F是AB的中點,所以AF=FB=4,且EF⊥AB,
所以EF=
AE2-AF2
=
102-42
=2
21
(12分)
點評:本題主要考查面面垂直的判定,其思路是:將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直進行證明,在一個平面內(nèi)尋找另一個平面的垂線,這種降維轉(zhuǎn)化的思想在解決線面關(guān)系、面面關(guān)系時非常重要.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在空間四邊形OABC中,M,G分別是BC,AM的中點,設(shè)
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c

(1)用基底{
a
 , 
b
 ,
c
}
表示向量
OG
;
(2)若|
a
|=|
b
|=|
c
|=
3
,且
a
b
、
c
夾角的余弦值均為
1
3
,
b
c
夾角為60°,求|
OG
|

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在空間四邊形ABCD中,點E、H分別是邊AB、AD的中點,F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點,且
CF
CB
=
CG
CD
=
2
3
,則(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在空間四邊形OABC中,已知E是線段BC的中點,G為AE的中點,若
OA
OB
,
OC
分別記為
a
,
b
,
c
,則用
a
,
b
c
表示
OG
的結(jié)果為
OG
=
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在空間四邊形PABC中,PA⊥面ABC,AC⊥BC,若點A在PB、PC上的射影分別是E、F,求證:EF⊥PB.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西省高二第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖,在空間四邊形ABCD中,點E、H分別是邊AB、AD的中點,F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點,且,則( 。

(A)EF與GH互相平行

(B)EF與GH異面

(C)EF與GH的交點M可能在直線AC上,也可能不在直線AC上

(D)EF與GH的交點M一定在直線AC上

 

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