【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值和單調區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)極小值是,的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為;(2).
【解析】
試題分析:(1)借助題設條件運用導數(shù)求解;(2)先借助導數(shù)分類討論求出最值,再建立不等式求解.
試題解析:
(1)當,
令,得,
又的定義域為,由得,由,得,
所以時,有極小值為1,
的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.
(2),且,令,得到,若在區(qū)間上存在一點,使得成立,即在區(qū)間上的最小值小于0.
當,即時,恒成立,即在區(qū)間上單調遞減,
故在區(qū)間上的最小值為,
由,得,即.
當,即時,
①若,則對成立,所以在區(qū)間上單調遞減,
則在區(qū)間上的最小值為,
顯然,在區(qū)間上的最小值小于0不成立,
②若,即時,則有
0 | |||
極小值 |
所以在區(qū)間上的最小值為,
由,得,解得,即,
綜上,由①②可知:符合題意.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當x∈[1,4]時,求函數(shù)的值域;
(2)如果對任意的x∈[1,4],不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】鐵礦石A和B的含鐵率為,冶煉每萬噸鐵礦石CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石
的價格c如下表:
b(萬噸) | (百萬元) | ||
A | 50% | 1 | 3 |
B | 70% | 0.5 | 6 |
某冶煉廠至少要生產1.9(萬噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過2(萬噸),則購買鐵礦石的最少費用為________ (百萬元).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C: ,直線l:
(Ⅰ)求直線l所過定點A的坐標;
(Ⅱ)求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長;
(Ⅲ)已知點,在直線MC上(C為圓心),存在定點N(異于點M),滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù)。
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【題目】某屆奧運會上,中國隊以26金18銀26銅的成績稱金牌榜第三、獎牌榜第二,某校體育愛好者在高三 年級一班至六班進行了“本屆奧運會中國隊表現(xiàn)”的滿意度調查(結果只有“滿意”和“不滿意”兩種),從被調查的學生中隨機抽取了50人,具體的調查結果如下表:
(1)在高三年級全體學生中隨機抽取一名學生,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計該生持滿意態(tài)度的概率;
(2)若從一班至二班的調查對象中隨機選取4人進行追蹤調查,記選中的4人中對“本屆奧運會中國隊表現(xiàn)”不滿意的人數(shù)為,求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某企業(yè)的兩座建筑物AB,CD的高度分別為20m和40m,其底部BD之間距離為20m.為響應創(chuàng)建文明城市號召,進行亮化改造,現(xiàn)欲在建筑物AB的頂部A處安裝一投影設備,投影到建筑物CD上形成投影幕墻,既達到亮化目的又可以進行廣告宣傳.已知投影設備的投影張角∠EAF為,投影幕墻的高度EF越小,投影的圖像越清晰.設投影光線的上邊沿AE與水平線AG所成角為α,幕墻的高度EF為y(m).
(1)求y關于α的函數(shù)關系式,并求出定義域;
(2)當投影的圖像最清晰時,求幕墻EF的高度.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】市場上有一種新型的強力洗衣粉,特點是去污速度快,已知每投放(且)個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機中,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(分鐘)變化的函數(shù)關系式近似為,其中,若多次投放,則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經驗,當水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時,它才能起有效去污的作用.
(1)若只投放一次4個單位的洗衣液,則有效去污時間可能達幾分鐘?
(2)若先投放2個單位的洗衣液,6分鐘后投放個單位的洗衣液,要使接下來的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù): 取).
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