【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,分別為的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)要證明面面平行,根據(jù)判斷定理需證明平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行,即證明;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求兩個(gè)平面的法向量
,求.
(I)連接
為正三角形.
為的中點(diǎn), .
平面,
又平面平面,平面.
分別為的中點(diǎn),
又平面,平面,平面.
又平面,,
平面平面.
(Ⅱ)連接.
平面平面,平面平面,平面,, 平面
又兩兩垂直
以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,則,
設(shè)平面的法向量,平面 的法向量
,
得
,
平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,對(duì)稱(chēng)軸為x軸,其準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)C的方程;
(2)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l,使得拋物線(xiàn)C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離都為,求直線(xiàn)l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)為偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,,且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(3)若,若當(dāng)時(shí),總有,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)內(nèi)某知名企業(yè)為適應(yīng)發(fā)展的需要,計(jì)劃加大對(duì)研發(fā)的投入,據(jù)了解,該企業(yè)原有100名技術(shù)人員,年人均投入萬(wàn)元,現(xiàn)把原有技術(shù)人員分成兩部分:技術(shù)人員和研發(fā)人員,其中技術(shù)人員名(且),調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加%,技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬(wàn)元.
(1)要使這名研發(fā)人員的年總投入恰好與調(diào)整前100名技術(shù)人員的年總投入相同,求調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù);
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù),使得調(diào)整后,在技術(shù)人員的年人均投入不減少的情況下,研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入?若存在,求出的范圍,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某市有相交于點(diǎn)O的一條東西走向的公路l,與南北走向的公路m,這兩條公路都與一塊半徑為1(單位:千米)的圓形商城A相切.根據(jù)市民建議,欲再新建一條公路PQ,點(diǎn)P、Q分別在公路l、m上,且要求PQ與圓形商城A也相切.
(1)當(dāng)P距O處4千米時(shí),求OQ的長(zhǎng);
(2)當(dāng)公路PQ長(zhǎng)最短時(shí),求OQ的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由A,B,C,…等7人擔(dān)任班級(jí)的7個(gè)班委.
(1)若正、副班長(zhǎng)兩職只能由A,B,C這三人中選兩人擔(dān)任,則有多少種分工方案?
(2)若正、副班長(zhǎng)兩職至少要選A,B,C這三人中的1人擔(dān)任,有多少種分工方案?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某城區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi),,三類(lèi)行業(yè)共200個(gè)單位的生態(tài)環(huán)境治理成效進(jìn)行了考核評(píng)估,考評(píng)分?jǐn)?shù)達(dá)到80分及其以上的單位被稱(chēng)為“星級(jí)”環(huán)保單位,未達(dá)到80分的單位被稱(chēng)為“非星級(jí)”環(huán)保單位.現(xiàn)通過(guò)分層抽樣的方法獲得了這三類(lèi)行業(yè)的20個(gè)單位,其考評(píng)分?jǐn)?shù)如下:
類(lèi)行業(yè):85,82,77,78,83,87;
類(lèi)行業(yè):76,67,80,85,79,81;
類(lèi)行業(yè):87,89,76,86,75,84,90,82.
(Ⅰ)計(jì)算該城區(qū)這三類(lèi)行業(yè)中每類(lèi)行業(yè)的單位個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若從抽取的類(lèi)行業(yè)這6個(gè)單位中,再隨機(jī)選取3個(gè)單位進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查,求選出的這3個(gè)單位中既有“星級(jí)”環(huán)保單位,又有“非星級(jí)”環(huán)保單位的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)采取分層抽樣的方法從應(yīng)屆高三學(xué)生中按照性別抽取20名學(xué)生,其中8名女生中有3名報(bào)考理科,男生中有2名報(bào)考文科.
(1)根據(jù)以上信息,寫(xiě)出列聯(lián)表;
(2)用假設(shè)檢驗(yàn)的方法分析有多大的把握認(rèn)為該中學(xué)的高三學(xué)生選報(bào)文理科與性別有關(guān)?
參考公式:
p(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.07 | 2.71 | 3.84 | 5.02 | 6.64 | 7.88 | 10.83 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值,對(duì), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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