Question

已知橢圓C：

x2

2

+y2=1．
（1）求橢圓C截直線l₁：y=

2

（x+1）所得的弦長(zhǎng)；
（2）直線l₂交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，橢圓與y軸的正半軸交于B點(diǎn)，若△BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上，判斷l(xiāng)₂是否存在，若存在求出，不存在說(shuō)明理由？

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓的方程聯(lián)立可得5x²+8x+2=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式|AB|=

(1+2)[(x1+x2)2-4x1x2]

即可得出．
（2）設(shè)MN的中點(diǎn)為P（s，t），假設(shè)△BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0）上，利用

BF

=2

FP

，解得P(

3

2

，-

1

2

)．即可判斷出．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y= 2 (x+1) x2 2 +y2=1

，化為5x²+8x+2=0，
∴x₁+x₂=-

8

5

，x₁x₂=

2

5

．
∴|AB|=

(1+2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3×[( 8 5 )2-4× 2 5 ]

=

6 2

5

．
（2）設(shè)MN的中點(diǎn)為P（s，t），
假設(shè)△BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0）上，
則

BF

=2

FP

，解得P(

3

2

，-

1

2

)．
而

3

2

＞

2

=a，
弦MN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)＞a，在橢圓的外部，因此直線MN不可能存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、中點(diǎn)弦問(wèn)題、三角形的重心的性質(zhì)、向量運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．