Question

（選做題）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集為M．
（1）求M；
（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再利用f（x）＜4，即可求得M；
（Ⅱ）利用作差法，證明4（a+b）²-（4+ab）²＜0，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x-1|=
當(dāng)x＜-1時(shí)，由-2x＜4，得-2＜x＜-1；
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=2＜4；
當(dāng)x＞1時(shí)，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M=（-2，2）．…（5分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b∈M，即-2＜a，b＜2，
∵4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）=（a²-4）（4-b²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)，考查解不等式，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是將不等式寫成分段函數(shù)，利用作差法證明不等式．