Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx（a＞．
（I）求證f（x）≥1+lna；
（II）若對任意的，總存在唯一的（e為自然對數(shù)的底數(shù)），使得g（x₁）=f（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導數(shù)，由導數(shù)的正負取得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論；
（II）首先確定g（x）∈[，2]，再分類討論確定函數(shù)f（x）的值域，利用對任意的，總存在唯一的（e為自然對數(shù)的底數(shù)），使得g（x₁）=f（x₂），建立不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：（I）證明：求導數(shù)可得f′（x）=a-（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞，令f′（x）＜0，可得0＜x＜
∴x=時，函數(shù)取得最小值
∴f（x）≥f（）=1+lna；
（II）解：g′（x）=＞0，∴函數(shù)g（x），當時，函數(shù)為增函數(shù)，∴g（x）∈[，2]
當時，函數(shù)f（x）在上單調(diào)減，∴f（x）∈[，ae-1]
∴，無解；
當時，函數(shù)f（x）在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，f（）=1+lna≤，∴a≤，∴＜a≤
當時，函數(shù)f（x）在上單調(diào)增，∴f（x）∈[，ae-1]，∴，無解
綜上知，＜a≤．
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．