【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線lxy+40和圓Ox2+y24,P是直線l上一點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N

1)若PMPN,求點(diǎn)P坐標(biāo);

2)若圓O上存在點(diǎn)A,B,使得∠APB60°,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍;

3)設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q,lx軸的交點(diǎn)為T,求線段TQ長的最大值.

【答案】(1)P(﹣2,2);(2)[40];(3)3

【解析】

1)由PMPN,則四邊形PMON為正方形,可得到圓心距離,由此可求得點(diǎn)坐標(biāo);

2)設(shè)Px,x+4),過P作圓的切線PC,PD,若圓O上存在點(diǎn)AB,使得∠APB60°,則∠CPD≥600,把它用坐標(biāo)表示后可得范圍;

3)設(shè)Px0,x0+4),得以OP為直徑的圓的方程與x2+y24聯(lián)立(相減)可得MN所在直線方程,由直線方程與x2+y24聯(lián)立消元后用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),再得縱坐標(biāo),消去參數(shù)后得點(diǎn)軌跡方程,軌跡是圓(去掉原點(diǎn)),求出點(diǎn)坐標(biāo)后,由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得最大值

1)若PMPN,則四邊形PMON為正方形,則P到圓心的距離為,∵P在直線xy+40上,設(shè)Px,x+4

|OP|,解得x=﹣2,故P(﹣2,2);

2)設(shè)Px,x+4),若圓O上存在點(diǎn)A,B,使得∠APB60°,過P作圓的切線PC,PD,∴∠CPD≥600,∴∠CPO≥300,

在直角三角形CPO中,∵300CPO900,

sinCPO1,即1,∴2OP≤4,

24,解得﹣4≤x≤0,∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為:[4,0];

3)設(shè)Px0x0+4),則以OP為直徑的圓的方程為,

化簡得,與x2+y24聯(lián)立,可得MN所在直線方程:x0x+x0+4y4

聯(lián)立,得,

,,所以,

Q的坐標(biāo)為(),

,得,,代入化簡可得Q點(diǎn)的軌跡方程為:,圓心C,),半徑R

其中原點(diǎn)(00)為極限點(diǎn)(也可以去掉).由題可知T(﹣4,0),

|TC|.∴|TQ|≤|TC|+R3.∴線段TQ長的最大值為3

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(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過

不超過

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

附:,

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