已知函數(shù)f(x)=x2-6x+4lnx.
(1)給出兩類直線:6x+y+m=0與3x-y+n=0,其中m,n為常數(shù),判斷這兩類直線中是否存在y=f(x)的切線.若存在,求出相應(yīng)的m或n的值;若不存在,說明理由.
(2)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點P(x0,h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),當(dāng)x≠x0,若
h(x)-g(x)x-x0
>0在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對稱點”.試問y=f(x)是否存在“類對稱點”.若存在,請求出“類對稱點”的橫坐標;若不存在,說明理由.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷出曲線的切線的斜率的取值范圍,進而即可得出答案;
(2)利用“類對稱點”的定義及導(dǎo)數(shù)即可得出答案.
解答:解:(1)∵f(x)=x2-6x+4lnx,∴x>0,f′(x)=2x+
4
x
-6
,
f(x)≥2
2x×
4
x
-6=4
2
-6
>-6,故不存在6x+y+m=0這類直線的切線;
2x+
4
x
-6=3
,解得x=
1
2
,4.
當(dāng)x=
1
2
時,f(
1
2
)=-
11
4
-4ln2
,把點(
1
2
,-
11
4
-4ln2)
代入方程3x-y+n=0,解得n=-
17
4
-4ln2

當(dāng)x=4時,f(4)=-8+4ln4,把點(4,-8+4ln4)代入方程3x-y+n=0,解得n=4ln4-20.
(2)設(shè)點P(x0,f(x0))處的切線方程為l:y=g(x),則g(x)-(
x
2
0
-6x0+4lnx0)
=(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)
,
∴g(x)=(
x
2
0
-6x0+4lnx0)
+(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)
,
令φ(x)=f(x)-g(x)=x2-6x+4lnx-(
x
2
0
-6x0+4lnx0)
-(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)

則φ(x0)=0.
φ(x)=2x+
4
x
-6-(2x0+
4
x0
-6)
=
2
x0
(x-x0)(x0-
2
x
)
,
當(dāng)x0
2
時,φ(x)在(x0,
2
x0
)
上φ(x)<0,∴φ(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞減,
x∈(x0,
2
x0
)
時,φ(x)<φ(x0)=0.
從而x∈(x0
2
x0
)
時,
φ(x)
x-x0
<0

當(dāng)x0
2
時,φ(x)在(
2
x0
,x0)
上φ(x)<0,∴φ(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞減,
x∈(
2
x0
,x0)
時,φ(x)>φ(x0)=0.
從而x∈(
2
x0
,x0)
時,
φ(x)
x-x0
<0

∴在(0,
2
)∪(
2
,+∞)
不存在“類對稱點”.
當(dāng)x0=
2
時,
φ (x)=
2
x
(x-
2
)2
,∴φ(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),故
φ(x)
x-x0
>0

因此x=
2
是一個“類對稱點”的橫坐標.
點評:正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、“類對稱點”的意義及熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)=(
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,其中0<a<b.
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(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
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(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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