Question

定義函數f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，x＞-2，x∈N^*．
（1）求證：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在區(qū)間[a，0]（a＜0），使函數h（x）=f₃（x）-f₂（x）在區(qū)間[a，0]上的值域為[ka，0]若存在，求出最小的k值及相應的區(qū)間[a，0]，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx，求出導函數，利用導數研究函數的增減性得到函數的最小值為g（0）=0，即可得證；
（2）h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，x∈[a，0]（a＜0），求導函數，分類討論，確定函數的最值，利用函數h（x）=f₃（x）-f₂（x）在區(qū)間[a，0]上的值域為[ka，0]，即可求得結論．

解答：（1）證明：令g（x）=f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx．
則g'（x）=n（x+1）^n-1-n=n[（x+1）^n-1-1]，
∴當-2＜x＜0時，g'（x）＜0；當x＞0時g'（x）＞0．
∴g（x）在（-2，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增．
∴當x=0時，g（x）_min=g（0）=0，即g（x）≥g（x）_min=g（0）=0，
∴f_n（x）≥nx；
（2）解：h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，x∈[a，0]（a＜0），
∴h'（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=-1或-

1

3

∵h（-1）=h（0）=0，h（-

1

3

）=h（-

4

3

）=-

4

27

∴若-

1

3

＜a＜0，則函數在[a，0]上單調增，∴h（a）=ka，h（0）=0，∴a（1+a）²=ka，∴k=（1+a）²∈（

4

9

，1）；
若-

4

3

≤a≤-

1

3

，則h（-

1

3

）=ka，h（0）=0，∴k=-

4

27a

∈[

1

9

，

4

9

]；
若a＜-

4

3

，則h（a）=ka，h（0）=0，∴a（1+a）²=ka，∴k=（1+a）²∈（

1

9

，+∞）
綜上知，k∈[

1

9

，+∞）
∴最小的k值為

1

9

，相應的區(qū)間為[-

4

3

，0]

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，綜合性強．