Question

已知向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），

m

•

n

=-sin2C，且A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角．
（1）求角C的大�。�
（2）若三邊a，c，b成等差數(shù)列，且

CA

•

BC

=18，求c邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，得到其數(shù)量積為sin（A+B），又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得到結(jié)果為sinC，而已知數(shù)量積為-sin2C，兩者相等，并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0，兩邊同時(shí)除以sinC，求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由三角形的三邊a，c及b成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2c=a+b，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)

CA

•

BC

=18，將cosC的值代入求出ab的值，接著利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，根據(jù)完全平方公式變形后，將cosC，a+b，及ab代入得到關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：（1）∵

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），
∴

m

•

n

=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
又A+B+C=π，即A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC，
∴

m

•

n

=sinC，又

m

•

n

=-sin2C，
∴-sin2C=sinC，即-2sinCcosC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=-

1

2

，又C為三角形的內(nèi)角，
∴C=

2π

3

；
（2）∵a，c，b成等差數(shù)列，
∴2c=a+b，
又

CA

•

BC

=abcos（π-C）=-abcosC=18，且cosC=-

1

2

，
∴ab=36，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab=（2c）²-36，
整理得：3c²=36，即c²=12，
則c=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．