Question

18．在直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y={sin^2}α\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲線C₃：ρ=2sinθ
（1）求曲線C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)
（2）設(shè)點(diǎn)A、B分別為曲線C₂，C₃上的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （l）求出曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組能求出曲線C₁與C₂的交點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．
（2）曲線C₃是以C（0，1）為圓心，半徑r=1的圓，求出圓心C，點(diǎn)B到直線x+y+1=0的距離d，d'，由此能求出|AB|的最大值．

解答 解：（1）由曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y={sin^2}α\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
消去參數(shù)α可得：得：y+x²=1，x∈[-1，1]，①
曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可變形為ρcosθ+ρsinθ+1=0，
∴曲線C₂：x+y+1=0，②，
聯(lián)立①②可得：消去y可得：x²-x-2=0，解得x=-1或x=2（舍去），
∴M（-1，0）．
（2）曲線C₃：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
∴曲線C₃：x²+（y-1）²=1，是以C（0，1）為圓心，半徑r=1的圓，
而曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即x+y+1=0是一條直線，
設(shè)圓心C到直線x+y+1=0的距離分別為d，
則d=$\frac{|0+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
分析可得|AB|≤d+1=$\sqrt{2}$+1，
則|AB|的最大值為$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)的求法，考查線段的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．