Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=10，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由a_n+1=2S_n+1（n≥1），可得：S_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{2}$．

解答 解：（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3得等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1．
（2）由a_n+1=2S_n+1（n≥1），
可得：S_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{2}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．