Question

已知函數(shù)f(x)=cos2(x+

π

12

)-1，g(x)=

1

2

sin2x，．
（Ⅰ）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，求g（x₀）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，求出2x₀的值，代入g（x）即可求出g（x₀）的值；
（Ⅱ）將f（x）與g（x）代入h（x）=f（x）+g（x）中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域即可求出h（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由題知f（x）=

1

2

cos（2x+

π

6

）-

1

2

，
∵x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，
∴2x₀+

π

6

=kπ（k∈Z），即2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），
∴g（x₀）=

1

2

sin2x₀=

1

2

sin（kπ-

π

6

），
則當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g（x₀）=

1

2

sin（-

π

6

）=-

1

4

，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g（x₀）=

1

2

sin

π

6

=

1

4

；
（Ⅱ）由題知h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

cos（2x+

π

6

）-

1

2

+

1

2

sin2x=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin2x]-

1

2

=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）-

1

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）-

1

2

，
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴h（x）的值域?yàn)閇-1，0]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．