Question

【題目】在120°的二面角α－－β的兩個(gè)面內(nèi)分別有點(diǎn)A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距離AC，BD分別是2，4，且線(xiàn)段AB＝10.

(1)求C，D間的距離；

(2)求直線(xiàn)AB與平面β所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)6 (2)

【解析】

（1）要求CD長(zhǎng)，應(yīng)將CD放在三角形中，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)，取CE＝BD＝4，根據(jù)余弦定理可求出AE的長(zhǎng)，最后在直角三角形AEB求出BE長(zhǎng)，而四邊形BECD為矩形，即可求出所求；

（2）在△ACD所在的平面內(nèi)，作AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，利用面面垂直的性質(zhì)即可證明AF⊥平面Q，從而得到∠ABF是直線(xiàn)AB和平面Q所成的角．

（1）過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)，取CE＝BD＝4，

∵AC⊥l，而CE⊥l，則∠ACE＝120°

根據(jù)余弦定理可知cos∠ACE

解得：AE

而三角形AEB為直角三角形，則BE＝6

即CD＝6

（2）在△ACE所在的平面內(nèi)，作AO⊥CE交CE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O．

∵平面ACE⊥平面β，∴AF⊥平面β．

在△ACO中，∠ACO＝60°，AC＝2，∴AO．

連接OB，于是∠ABO是AB和平面β所成的角，

在△ABO為直角三角形，

∴．