Question

已知函數f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（1）當a=0時，求函數f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在R上單調，求a的取值范圍；
（3）當a=-

5

2

時，求函數f（x）的極小值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的導函數，求出切點坐標，根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成一般式即可；
（2）若f（x）在R上單調，則f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]＞0恒成立，考慮到e^x＞0恒成立且x²系數為正，從而等價x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立，利用判別式建立關系式，即可求出所求；
（3）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值即可．

解答：解：f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
（1）當a=0時，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），
f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函數f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線方程為y-3e=5e（x-1），
即5ex-y-2e=0
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，，
考慮到e^x＞0恒成立且x²系數為正，
∴f（x）在R上單調等價x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范圍是[-2，2]，
（3）當a=-

5

2

時，f（x）=（x²-

5

2

x+2）e^x，f'（x）=e^x（x²-

1

2

x-

1

2

），
令f'（x）=0，得x=-

1

2

，或x=1，
令f'（x）＞0，得x＜-

1

2

，或x＞1，
令f'（x）＜0，得-

1

2

＜x＜1????????????????????
x，f'（x），f（x）的變化情況如下表

X	（-∞，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以函數f（x）的極小值為f（1）=

1

2

e

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的極值和恒成立問題，同時考查了計算能力、轉化與劃歸的思想，屬于綜合題．