Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，它的一個(gè)頂點(diǎn)為M（0，1），離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）求橢圓的方程，它的一個(gè)頂點(diǎn)為M（0，1），離心率e=

6

3

．建立方程

b=1 e= c a = a2-b2 a = 6 3

求同a，b，即可得到橢圓的方程．
（2）由于已知坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

3

2

，故求△AOB面積的最大值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段AB的最大值的問(wèn)題，由弦長(zhǎng)公式將其表示出來(lái)，再判斷最值即可得到線段AB的最大值．

解答：解：（1）設(shè)c=

a2-b2

，
依題意得

b=1 e= c a = a2-b2 a = 6 3

（2分）解得

a= 3 b=1

．（3分）∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．．（4分）
（2）①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|=

3

．（5分）
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，．．（6分）
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

（7分）
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]=

12(1+k2)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

(k≠0)≤3+

12

2×3+6

=4．
當(dāng)且僅當(dāng)9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|AB|=2．（10分）
③當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=

3

（11分）
綜上所述：|AB|_max=2，
此時(shí)△AOB面積取最大值S=

1

2

|AB|max×

3

2

=

3

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，解答本題關(guān)鍵是對(duì)直線AB的位置關(guān)系進(jìn)行討論，可能的最值來(lái)，本題由于要聯(lián)立方程求弦長(zhǎng)，故運(yùn)算量比較大，又都是符號(hào)運(yùn)算，極易出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，規(guī)律固定，因此此類題難度降低不少，因?yàn)橛写斯潭ㄒ?guī)律，方法易找，只是運(yùn)算量較大．