Question

9．數(shù)列{a_n}，定義{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分數(shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）
（1）若a_n=n²-n，試判斷{△a_n}是否是等差數(shù)列，并說明理由；
（2）若a₁=1，△a_n-a_n=2ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）對（b）中的數(shù)列{a_n}，是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得b₁C${\;}_{n}^{1}$+b₂C${\;}_{n}^{2}$+…+b_nC${\;}_{n}^{n}$=a_n，對一切n∈N^*都成立，若存在，求出數(shù)列{b_n}的通項公式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n²-n，結合新定義，可判定{△a_n}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；
（2）由△a_n-a_n=2ⁿ入手能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）結合組合數(shù)的性質：1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1進行求解．

解答 解：（1）若a_n=n²-n，試判斷{△a_n}是等差數(shù)列，理由如下：
∵a_n=n²-n，
∴△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²-（n+1）-（n²-n）=2n，
∵△a_n+1-△a_n=2，且△a₁=4，
∴{△a_n}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；
（2）∵△a_n-a_n=2ⁿ．△a_n=a_n+1-a_n，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，（6分）
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}構成以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{2}$⇒a_n=n•2^n-1；
（3）b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n，即b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n•2^n-1，
∵1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1，
∴存在等差數(shù)列{b_n}，b_n=n，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n對一切自然n∈N都成立．

點評 第（1）題考查等差數(shù)列的證明，解題時要注意等差數(shù)列性質的合理運用；第（2）題考查數(shù)列通項公式的求解方法，解題時要注意構造法的合理運用；第（3）題考查數(shù)列前n項和的證明，解題時要注意裂項求和法的合理運用．