已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.
⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
⑵設(shè)，求證：；
⑶設(shè)，，求.

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：（1）一般數(shù)列問題中出現(xiàn)數(shù)列前的和與其項(xiàng)時(shí)，則可利用關(guān)系找出數(shù)列的遞推關(guān)系，本題可從此入手，證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)由(1)可求出，根據(jù)此式的結(jié)構(gòu)特征，可得，利用裂項(xiàng)相消法求其前的和后再予以判斷；(3)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(等差乘等比型)可用錯(cuò)位相減法求和.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，應(yīng)緊扣定義，通過對(duì)所給條件變形，得到遞推關(guān)系，而等差乘等比型數(shù)列的求和最常用的就是錯(cuò)位相減法，使用這個(gè)方法在計(jì)算上要有耐心和細(xì)心，注意各項(xiàng)的符號(hào)，防止出錯(cuò).
試題解析：⑴證明：，當(dāng)時(shí)，或，又.            1分
由，得，

數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；            4分
⑵證明：由⑴知，，

.            8分
⑶，，      ①
         ②
由①－②得，
.            12分
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有
．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

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數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為．
（1）求；
（2）求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和．

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數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是和的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.

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已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）若數(shù)列的滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.

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已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且=－n+20n，n∈N．
(Ⅰ)求通項(xiàng)；
(Ⅱ)設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和．

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已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上.數(shù)列{bn}滿足，前9項(xiàng)和為153.
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前n和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)k的值.

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已知數(shù)列滿足，；
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求當(dāng)最大時(shí)序號(hào)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）若，且數(shù)列 中的 每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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