【題目】已知a>0,函數(shù)
(1)記f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值為g(a),求g(a)的表達(dá)式;
(2)是否存在a使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:當(dāng)0≤x≤a時(shí), ;當(dāng)x>a時(shí),

∴當(dāng)0≤x≤a時(shí), ,f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>a時(shí), ,f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.

①若a≥4,則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減,g(a)=f(0)=

②若0<a<4,則f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,4)上單調(diào)遞增

∴g(a)=max{f(0),f(4)}

∵f(0)﹣f(4)= =

∴當(dāng)0<a≤1時(shí),g(a)=f(4)= ;當(dāng)1<a<4時(shí),g(a)=f(0)= ,

綜上所述,g(a)= ;


(2)解:由(1)知,當(dāng)a≥4時(shí),f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減,故不滿足要求;

當(dāng)0<a<4時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,4)上單調(diào)遞增,若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲線y=f(x)在

兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)f′(x2)=﹣1

=﹣1

∵x1∈(0,a),x2∈(a,4),

∴x1+2a∈(2a,3a), ∈( ,1)

∴①成立等價(jià)于A=(2a,3a)與B=( ,1)的交集非空

,∴當(dāng)且僅當(dāng)0<2a<1,即 時(shí),A∩B≠

綜上所述,存在a使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直,且a的取值范圍是(0, ).


【解析】(1)利用絕對(duì)值的幾何意義,分類討論,結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可得g(a)的表達(dá)式;(2)利用曲線y=f(x)在兩點(diǎn)處的切線互相垂直,建立方程,從而可轉(zhuǎn)化為集合的運(yùn)算,即可求得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求甲射擊4次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率;

(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率.

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①-2是函數(shù)的極值點(diǎn);

是函數(shù)的極值點(diǎn);

處取得極大值;

④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.則正確命題的序號(hào)是

A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④

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(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明);
(2)若以原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置,使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最。

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(1)求p0的值;
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A.A=N* , B=N
B.A={x|﹣1≤x≤3},B={x|x=﹣8或0<x≤10}
C.A={x|0<x<1},B=R
D.A=Z,B=Q

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