Question

【題目】對于函數(shù)，若關(guān)系式中變量是變量的函數(shù)，則稱函數(shù)為可變換函數(shù).例如：對于函數(shù)，若，則，所以變量是變量的函數(shù)，所以是可變換函數(shù).

（1）求證：反比例函數(shù)不是可變換函數(shù)；

（2）試判斷函數(shù)是否是可變換函數(shù)并說明理由；

（3）若函數(shù)為可變換函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】分析：（1）利用反證法，假設(shè)是可變換函數(shù)，，利用關(guān)變量的一元二次方程無解但導(dǎo)出矛盾，從而可得結(jié)論；（2）利用必須有交點(diǎn)，而連續(xù)且單調(diào)遞減，值域為，連續(xù)且單調(diào)遞增，值域為，進(jìn)而可得結(jié)論；. （3），則恒大于，即無交點(diǎn)，不滿足題意；若，則必定有交點(diǎn)，即方程有解，從而可得結(jié)果.

詳解：（1）假設(shè)是可變換函數(shù)，則，

因為變量是任意的，故當(dāng)時，此時有關(guān)變量的一元二次方程無解，

則與假設(shè)矛盾，故原結(jié)論正確，得證；

（2）若是可變換函數(shù)，則，

則有關(guān)的兩個函數(shù)：必須有交點(diǎn)，而連續(xù)且單調(diào)遞減，值域為，

連續(xù)且單調(diào)遞增，值域為，所以這兩個函數(shù)與必定有交點(diǎn)，

即：變量是變量的函數(shù)，所以是可變換函數(shù)；

（3）函數(shù)為可變換函數(shù)，則，

若，則恒大于，即無交點(diǎn)，不滿足題意；

若，則必定有交點(diǎn)，即方程有解，從而滿足題意.