Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)其中a為常數(shù)，且．

（Ⅰ）當時，求在（e=2．718 28…）上的值域；

（Ⅱ）若對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）當時，

    得                                                           ………………………1分

    令，即，解得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

    據(jù)此，函數(shù)在上為增函數(shù)，                         ………………………3分

    而，，所以函數(shù)在上的值域為

                                                                                          ………………………4分

（Ⅱ）由令，得即

      當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

      當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；…………………5分

      若，即，易得函數(shù)在上為增函數(shù)，

此時，，要使對恒成立，只需即可，

所以有，即

而，即，所以此時無解.

………………………7分

若，即，易知函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

要使對恒成立，只需，即，

由和

得.                                                  ………………………9分

      若，即，易得函數(shù)在上為減函數(shù)，

此時，，要使對恒成立，只需即可，

所以有，即，又因為，所以.     …………………11分

      綜合上述，實數(shù)a的取值范圍是.                ……………………12分