【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，側(cè)面為菱形，，平面平面.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，利用空間向量法可計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值；

（2）計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，以及平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，所以平面.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)正方形的邊長為，則，.

在菱形中，因?yàn)?/span>，所以，所以.

因?yàn)槠矫?/span>的法向量為，

設(shè)直線與平面所成角為，則，，

即直線與平面所成角的正弦值為；

（2）由（1）可知，，所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)?/span>即

取，，，即.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>，，

因?yàn)?/span>，所以，取.

設(shè)二面角的平面角為，

則，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形為正方形，已知平面，，.

（1）證明：；

（2）求與平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求的值并證明，若不存在，說明理由.

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【題目】某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1 000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1 200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位：噸)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為

W

12

15

18

P

0.3

0.5

0.2

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z(單位：元)是一個(gè)隨機(jī)變量.

(I)求Z的分布列和均值；

(II)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且與軸垂直，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且，且的面積是，其中是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程.

（2）若過點(diǎn)的直線，互相垂直，且分別與橢圓交于點(diǎn)，，，四點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓與圓外切于點(diǎn)，且過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某校中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖所示.為了解該校中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方式從中抽取一個(gè)容量為50的樣本進(jìn)行調(diào)查.

（1）求樣本中高中生、初中生及小學(xué)生的人數(shù)；

（2）從該校初中生和高中生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，用頻率估計(jì)概率，求恰有1名學(xué)生近視的概率；

（3）假設(shè)高中生樣本中恰有5名近視學(xué)生，從高中生樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用表示2名學(xué)生中近視的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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(2)若MP＝MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

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（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；

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