Question

（2011•晉中三模）若對(duì)任意的x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R），有唯一確定的f（x，y）與之對(duì)應(yīng)，則稱f（x，y）為關(guān)于x、y的二元函數(shù)．現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)f（x，y）為關(guān)于實(shí)數(shù)x、y的廣義“距離”：
（1）非負(fù)性：f（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)；
（2）對(duì)稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立．
今給出下列四個(gè)二元函數(shù)：①f（x，y）=|x-y|；  ②f（x，y）=（x-y）²；
③f(x，y)=

x-y

； ④f（x，y）=x²+y²．
能夠稱為關(guān)于實(shí)數(shù)x、y的廣義“距離”的函數(shù)的序號(hào)是

①④

．

Answer 1

分析：先理解所給的定義，根據(jù)其中的三個(gè)規(guī)則百負(fù)性，對(duì)稱性，三角不等式對(duì)所給的四個(gè)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，找出符合條件的函數(shù)，填上它的序號(hào)

解答：解：由所給的定義
對(duì)于①f（x，y）=|x-y|，顯然f（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，故滿足非負(fù)性，又|x-y|=|y-x|，故對(duì)稱性成立，又|x-y|=|x-z+z-y|≤|x-z|+|z-y|，故第三個(gè)性質(zhì)也滿足，①符合題意
對(duì)于②，不妨令x-y=2，則有x-

x+y

2

=

x+y

2

-y=1，此時(shí)有（x-y）²=4，而�。▁-

x+y

2

）²=（

x+y

2

-y）²=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不滿足三角不等式，
對(duì)于③，由于x-y＞0時(shí)，f(y，x)=

y-x?

無(wú)意義，故③不對(duì)；
對(duì)于④，三個(gè)性質(zhì)都滿足，故④符合題意

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解所給的定義，根據(jù)定義的規(guī)則進(jìn)行判斷，本題是一個(gè)探究型題，一定要對(duì)定義理解透徹，嚴(yán)格按定義中所給的規(guī)則進(jìn)行判斷，本題考查了推理判斷的能力及符號(hào)計(jì)算的能力