將數(shù)列的各項(xiàng)按照第1行排
,第2行自左至右排
,第3行…的規(guī)律,排成如圖所示的三角形形狀.
(Ⅰ)若數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,寫出圖中第五行第五個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若函數(shù)且
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)為圖中第
行所有項(xiàng)的和,在(Ⅱ)的條件下,用含
的代數(shù)式表示
.
(Ⅰ)(Ⅱ)
(
)(Ⅲ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,
所以,
因?yàn)閳D中前4行共有個(gè)數(shù),
所以第五行第五個(gè)數(shù)是
…2分
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為
.
由得,
.
…3分
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
.
又當(dāng)時(shí),
,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為:
(
). …6分
(Ⅲ)圖中前行共有項(xiàng)數(shù)為
…8分
由(Ⅱ)知,數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,
所以,圖中第行第一個(gè)數(shù)為
…10分
即,第行的
個(gè)數(shù)構(gòu)成以
為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
故
…12分
考點(diǎn):本小題主要考查借助三角形形狀圖形研究等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式等,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和分析問題、解決問題的能力.
點(diǎn)評(píng):由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)一定要注意討論和
兩種情況,不要把
漏掉.數(shù)列的綜合應(yīng)用問題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,同學(xué)們要加以重視.
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a4=9,a5=10,a6=12,…,將數(shù)列{an}各項(xiàng)按照上小下大,左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表.
(1)寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行與第五行各數(shù);
(2)求a100.
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