Question

在下列命題中：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈（

π

4

，

π

2

），則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
③若f（x）=2cos²

x

2

-1，則f（x+π）=f（x）對(duì)x∈R恒成立；
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，要使函數(shù)y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）（k∈N^*）在區(qū)間[a，a+3]上的值

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k可以取2和3．       
其中真命題的序號(hào)是

②④

．

Answer 1

分析：①由偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反可知，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，結(jié)合θ∈（

π

4

，

π

2

）時(shí)，可判斷sinθ與cosθ的大小，進(jìn)而可比較
②由銳角α、β滿足cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β），可判斷
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，函數(shù)的周期為T(mén)=2π，可判斷
④由于函數(shù)y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)值

5

4

出現(xiàn)兩次，若滿在區(qū)間[a，a+3]上的值

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則用檢驗(yàn)當(dāng)k=2，3時(shí)函數(shù)的周期即可判斷

解答：解：①由偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反可知，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，又θ∈（

π

4

，

π

2

）時(shí)，1＞sinθ＞cosθ＞0，則f（sinθ）∠f（cosθ）；故①錯(cuò)誤
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β），則α＜

π

2

-β，則α+β＜

π

2

；②正確
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，函數(shù)的周期為T(mén)=2π，則f（x+π）=f（x）對(duì)x∈R恒成立；③錯(cuò)誤
④由于函數(shù)y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)值

5

4

出現(xiàn)兩次，若滿在區(qū)間[a，a+3]上的值

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則

3T 2 ≤3 7T 2 ≥3

當(dāng)k=2時(shí)，周期T=

6

5

，則函數(shù)y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在區(qū)間[a，a+3]內(nèi)函數(shù)值

5

4

出現(xiàn)6次，滿足題意     
當(dāng)k=3時(shí)，周期T=

6

7

，則函數(shù)y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在區(qū)間[a，a+3]內(nèi)函數(shù)值

5

4

出現(xiàn)最大出現(xiàn)8次，滿足題意；故④正確
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了偶函數(shù)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性的應(yīng)用，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)的周期公式的應(yīng)用及二倍角公式、余弦函數(shù)的性質(zhì)等函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用