Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x|}，{x≤2}\\{（x-2）^{2}}，{x＞2}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=b-f（2-x），其中b∈R．若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是2＜b，b=$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=f（x）-g（x）的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+f（2-x），作出函數(shù)h（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵g（x）=b-f（2-x），
∴y=f（x）-g（x）=f（x）-b+f（2-x），
由f（x）-b+f（2-x）=0，得f（x）+f（2-x）=b，
設(shè)h（x）=f（x）+f（2-x），
若x≤0，則-x≥0，2-x≥2，
則h（x）=f（x）+f（2-x）=2+x+x²，
若0≤x≤2，則-2≤-x≤0，0≤2-x≤2，
則h（x）=f（x）+f（2-x）=2-x+2-|2-x|=2-x+2-2+x=2，
若x＞2，-x＜-2，2-x＜0，
則h（x）=f（x）+f（2-x）=（x-2）²+2-|2-x|=x²-5x+8．
即h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x≤0}\\{2，0＜x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：
當(dāng)x≤0時(shí)，h（x）=2+x+x²=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
當(dāng)x＞2時(shí)，h（x）=x²-5x+8=（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
故當(dāng)b=$\frac{7}{4}$時(shí)，h（x）=b，有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)b=2時(shí)，h（x）=b，有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，
由圖象知要使函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，
即h（x）=b恰有2個(gè)根，
則滿足2＜b，b=$\frac{7}{4}$
故答案為：2＜b，b=$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．