Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，$\frac{2a+b}{cosB}$=$\frac{-c}{cosC}$．
（1）求角C的大小；
（2）求sinAsinB的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)已知可得2sinAcosC=-sinA，結(jié)合sinA≠0，可求cosC=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜C＜π，可求C的值．
（2）由（1）及三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)可得sinAsinB=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，結(jié)合范圍0＜A＜$\frac{π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因?yàn)椋?\frac{2a+b}{cosB}$=$\frac{-c}{cosC}$，
所以：由正弦定理可得：$\frac{2sinA+sinB}{cosB}$=$\frac{-sinC}{cosC}$，
所以：2sinAcosC=-（sinBcosC+sinCcosB）=-sinA．
因?yàn)椋簊inA≠0，
所以：cosC=-$\frac{1}{2}$．
又因?yàn)椋?＜C＜π，
故C=$\frac{2π}{3}$． …（5分）
（2）因?yàn)椋簊inAsinB=sinAsin（$\frac{π}{3}$-A）=sinA（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{2}$sin²A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1-cos2A}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$．
因?yàn)椋?＜A＜$\frac{π}{3}$，
所以：當(dāng)A=$\frac{π}{6}$時(shí)，sinAsinB有最大值為$\frac{1}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．