Question

（本小題滿(mǎn)分10分）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)，與曲線(xiàn)：（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，并求當(dāng)時(shí)弦的長(zhǎng)；[
（2）當(dāng)恰為的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；
（3）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；
（4）當(dāng)變化時(shí)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

，
弦的中點(diǎn)的軌跡方程為；

（1）的參數(shù)方程（為參數(shù)）．       …………1分
曲線(xiàn)化為：，將直線(xiàn)參數(shù)方程的代入，得          
 
∵恒成立，               ………………3分
∴方程必有相異兩實(shí)根，且，．
∴
∴當(dāng)時(shí)，．                 ………………5分
（2）由為中點(diǎn)，可知，
∴，
故直線(xiàn)的方程為．                ………………7分
（3）∵，得
∴,
∴或
故直線(xiàn)的方程為或          ………………9分
（4）∵中點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)
∴（參數(shù) ），消去，得
弦的中點(diǎn)的軌跡方程為；
軌跡是以為圓心，為半徑的圓．            ………………10分