Question

已知向量

a

，

b

滿(mǎn)足

a

=(x，2)，

b

=(1，-3)，且（2

a

+

b

）⊥

b

．
（1）求向量

a

的坐標(biāo)；     
（2）求向量

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）首先利用平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及坐標(biāo)加法運(yùn)算求出2

a

+

b

的坐標(biāo)，然后直接利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解x的值，則向量

a

的坐標(biāo)可求；
（2）直接利用兩向量的夾角公式求出兩個(gè)向量夾角的余弦值，根據(jù)夾角的范圍進(jìn)一步求出兩個(gè)向量的夾角．

解答：解：（1）∵

a

=(x，2)，

b

=(1，3)，∴2

a

+

b

=2(x，2)+(1，-3)=(2x+1，1)．
又∵（2

a

+

b

）⊥

b

，∴（2x+1，1）•（1，-3）=2x+1+1×（-3）=0
解得x=1，∴

a

=(1，2)；
（2）設(shè)向量

a

與

b

的夾角為θ，∵cosθ=

a • b

| a || b |

∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

(1，2)•(1，-3)

1+22 1+(-3)2

=-

2

2

∵0≤θ≤π，∴向量與的夾角θ=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，考查了兩個(gè)向量的夾角公式，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．