Question

數(shù)列{a_n}中滿足a₁=a，a_n+1=

1

2-an

．
（1）求出a₂，a₃，a₄．
（2）猜想通項(xiàng)公式a_n
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}中滿足a₁=a，a_n+1=

1

2-an

，求出a₂，a₃，a₄．
（2）總結(jié)出規(guī)律求出a_n；
（3）利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（1）∵a₁=a，a_n+1=

1

2-an

，
∴a2=

1

2-a

，a3=

2-a

3-2a

，a4=

3-2a

4-3a

；
（2）由（1）猜想通項(xiàng)公式an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

；
（3）①n=1時(shí)，成立，
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a_k=

(k-1)-(k-2)a

k-(k-1)a

，
則n=k+1時(shí)，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- (k-1)-(k-2)a k-(k-1)a

=

k-(k-1)a

k+1-ka

，
即n=k+1時(shí)，成立．
由①②可知an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．