Question

在如圖所示的幾何體中，△ABC是邊長為2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（1）證明：AE∥平面BCD；
（2）證明：平面BDE⊥平面CDE；
（3）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點：組合幾何體的面積、體積問題,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BC的中點M，連接DM、AM，由等腰三角形三線合一，可得DM⊥BC，進而由平面BCD⊥平面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得DM⊥平面ABC，再由AE⊥平面ABC，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，可得AE∥DM，進而由線面平行的判定定理得到AE∥平面BCD；
（2）由（1）知AE∥DM，AE=DM，可由平行四邊形的性質(zhì)得DE∥AM，再由（1）得DM⊥AM，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AM⊥平面BCD，即DE⊥平面BCD，進而DE⊥CD，再由BD⊥CD結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面CDE；
（3）先證出BC⊥平面AEDM，即BC為組合體高之和，求出平面AEDM的面積，代入棱錐體積公式可得答案．

解答： 證明：（1）取BC的中點M，連接DM、AM，由已知BD=CD，可得：DM⊥BC，
又因為平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
所以DM⊥平面ABC，
因為AE⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又因為AE?平面BCD，DM?平面BCD，
所以AE∥平面BCD．（4分）
（2）由（1）知AE∥DM，又AE=1，CM=1，
所以四邊形DMAE是平行四邊形，則有DE∥AM，
由（1）得DM⊥AM，又AM⊥BC，
∴AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD，
又CD?平面BCD，所以DE⊥CD，
由已知BD⊥CD，DE∩BD=D，
∴CD⊥平面BDE，
因為CD?平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE．（10分）
（也可利用勾股定理等證明題中的垂直關(guān)系）
解：（3）∵BC⊥DM，BC⊥AM，DM∩AM=M，
∴BC⊥平面AEDM，（11分）
AM=

3

，DM=1，
易得四邊形AEDM為矩形其面積S=

3

，（12分）
故該幾何體的體積V=V_C-AEDM+V_B-AEDM=

1

3

×S×BC=

2 3

3

．（14分）

點評：本題考查的知識點是組合幾何體的體積問題，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，是空間線面關(guān)系的縮應(yīng)用，難度中檔．