解:(1)對任意的x
1∈[-1,1],有-x
1∈[-1,1],
當且僅當x
2=-x
1時,有
,
故存在唯一x
2∈[-1,1],滿足
,
所以1是函數(shù)f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”.
(2)當a=0時,f(x)=-2x(1<x<2)存在“均值”,且“均值”為-3;
當a≠0時,由f(x)=ax
2-2x(1<x<2)存在均值,可知對任意的x
1,
都有唯一的x
2與之對應(yīng),從而有f(x)=ax
2-2x(1<x<2)單調(diào),
故有
或
,
解得a≥1或a<0或
,
綜上,a的取值范圍是
或a≥1.
(3)①當I=(a,b)或[a,b]時,函數(shù)f(x)存在唯一的“均值”.
這時函數(shù)f(x)的“均值”為
;
②當I為(-∞,+∞)時,函數(shù)f(x)存在無數(shù)多個“均值”.
這時任意實數(shù)均為函數(shù)f(x)的“均值”;
③當I=(a,+∞)或(-∞,a)或[a,+∞)或(-∞,a]或[a,b)或(a,b]時,
函數(shù)f(x)不存在“均值”.
①當且僅當I形如(a,b)、[a,b]其中之一時,函數(shù)f(x)存在唯一的“均值”.
這時函數(shù)f(x)的“均值”為
;
②當且僅當I為(-∞,+∞)時,函數(shù)f(x)存在無數(shù)多個“均值”.
這時任意實數(shù)均為函數(shù)f(x)的“均值”;
③當且僅當I形如(a,+∞)、(-∞,a)、[a,+∞)、(-∞,a]、[a,b)、(a,b]其中之一時,
函數(shù)f(x)不存在“均值”.
分析:(1)根據(jù)均值的定義,要判斷1是函數(shù)f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”,即要驗證
;
(2)函數(shù)f(x)=ax
2-2x(1<x<2,a為常數(shù))存在“均值”,當a=0時,f(x)=-2x(1<x<2)存在“均值”,且“均值”為-3;當a≠0時,由f(x)=ax
2-2x(1<x<2)存在均值,可知對任意的x
1,都有唯一的x
2與之對應(yīng),從而有f(x)=ax
2-2x(1<x<2)單調(diào),從而求得實數(shù)a的取值范圍;
(3)根據(jù)(1),(2)的結(jié)論對于當I=(a,b)或[a,b]時,函數(shù)f(x)存在唯一的“均值”;當I為(-∞,+∞)時,函數(shù)f(x)存在無數(shù)多個“均值”,當為半開半閉區(qū)間時,函數(shù)f(x)不存在均值.
點評:此題是個中檔題,考查函數(shù)單調(diào)性的理解,和學生的閱讀能力,以及分析解決問題的能力,其中問題(3)是一個開放性問題,考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.