設直線與雙曲線交于A、B,且以AB為直徑的圓過原點,求點的軌跡方程.
2y2-x2=1(x2<3).
解析試題分析:將直線與雙曲線方程聯(lián)立,消去y(或x),得到關于x的一元二次方程。由題意知方程有兩根,故二次項系數(shù)不為0,且判別式大于0,解出a的范圍,即所求軌跡方程的定義域。根據(jù)韋達定理得到兩根之和,兩根之積(整體計算比計算出兩個根要簡單)。根據(jù)且以AB為直徑的圓過原點,可得直線AO和直線BO垂直,可利用斜率之積等于列式計算,但這種情況需對斜率存在與否進行討論。為了省去討論的麻煩可用向量問題來解決。詳見解析。
試題解析:解:聯(lián)立直線與雙曲線方程得,消去y得:(a2-3)x2+2abx+b2+1=0.
∵直線與雙曲線交于A、B兩點,∴⇒a2<3.
設A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2=,x1·x2=.
由⊥得x1x2+y1y2=0,又y1·y2=(ax1+b)(ax2+b)=a2x1x2+ab(x1+x2)+b2,
∴有+a2·-+b2=0.
化簡得:a2-2b2=-1.故P點(a,b)的軌跡方程為2y2-x2=1(x2<3).
考點:直接法求軌跡方程
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知是拋物線上的兩個點,點的坐標為,直線的斜率為k, 為坐標原點.
(Ⅰ)若拋物線的焦點在直線的下方,求k的取值范圍;
(Ⅱ)設C為W上一點,且,過兩點分別作W的切線,記兩切線的交點為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線,直線與E交于A、B兩點,且,其中O為原點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)點C坐標為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:.
(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖),直線分別與橢圓交于兩點,其中點滿足,且.
①證明直線與軸交點的位置與無關;
②若∆面積是∆面積的5倍,求的值;
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知雙曲線方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程;
(2)過點(1,1)能否作直線l,使l與雙曲線交于Q1,Q2兩點,且Q1,Q2兩點的中點為(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點,且
(1)求此橢圓的標準方程;
(2)設P是此橢圓上異于A,B的任意一點, 軸,H為垂足,延長HP到點Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點,為的中點,判定直線與以為直徑的圓O位置關系。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左右兩焦點分別為,是橢圓上一點,且在軸上方,.
(1)求橢圓的離心率的取值范圍;
(2)當取最大值時,過的圓的截軸的線段長為6,求橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,過橢圓右準線上任一點引圓的兩條切線,切點分別為.試探究直線是否過定點?若過定點,請求出該定點;否則,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,斜率為的直線過拋物線的焦點,與拋物線交于兩點A、B, M為拋物線弧AB上的動點.
(Ⅰ)若,求拋物線的方程;
(Ⅱ)求△ABM面積的最大值.
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