【題目】設(shè)、、為集合的任意三個(gè)元子集，且，.問：是否存在，，，使得其中某兩個(gè)數(shù)的和等于第三個(gè)數(shù)？

【答案】見解析

【解析】

用反證法證明：存在，，，使其中某兩個(gè)數(shù)的和等于第三個(gè)數(shù).

假設(shè)存在某種分拆，，，

使得、、三個(gè)元集中不存在這樣的三個(gè)元素.

記，，，

其中，，，.

設(shè)，則，，而.

考慮集合，記.

則為正整數(shù).

（1）若，則，矛盾.

（2）若，考慮個(gè)數(shù).

對(duì)每個(gè)，顯然.

又若存在某個(gè)，則與，，，矛盾.

于是，所有的，而，

此時(shí)，集合中至少有個(gè)元素，也得矛盾.

（3）若，在數(shù)列中，自左至右設(shè)最先取到的項(xiàng)為.

考慮數(shù)與，其顯然均在 集合中.

由于，而、分 別為集合、的元素，故由假設(shè)知.

又據(jù)，知，而，由假設(shè)知.

因此，只有.

再由，得；由，得.

因此，只有.

由于集合中的兩個(gè)元素與的差為，

故它們?yōu)榧?/span>中相鄰的兩個(gè)元素，并且它們分別小于及.

因此，在集合中應(yīng)當(dāng)排在先前的一對(duì) 元素、之前，

這與、為集合中 最先使得其差為的項(xiàng)的假設(shè)矛盾.

于是，結(jié)論得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上頂點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線交x軸于點(diǎn)N．問：在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中點(diǎn)．

（1）求證：AE⊥B1C；

（2）求異面直線AE與A1C所成的角的大�。�

（3）若G為C1C中點(diǎn)，求二面角C-AG-E的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，，，給出下列結(jié)論：

①四面體每組對(duì)棱相互垂直；

②四面體每個(gè)面的面積相等；

③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于而小于；

④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分；

⑤從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】寫出下面平面幾何中的常見結(jié)論在立體幾何中也成立的所有序號(hào)______.

①四邊形內(nèi)角和為；

②垂直的兩條直線必相交；

③垂直同一條直線的兩條直線平行；

④平行同一條直線的兩條直線平行；

⑤四邊相等的四邊形，其對(duì)角線垂直；

⑥到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的內(nèi)心；

⑦到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)必在這個(gè)角的角平分線上；

⑧在平面幾何中有“一組平行線（至少3條）被兩條直線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例”的結(jié)論，則這一結(jié)論可推廣到立體幾何中“一組平行平面（至少3個(gè)）被兩條直線所截得的對(duì)應(yīng)線段也成比例.”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.

(1)求證：AE⊥平面BCE；

(2)求證：AE∥平面BFD；

(3)求三棱錐C－BGF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下表提供了某廠經(jīng)過節(jié)能降耗技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸與相應(yīng)的生產(chǎn)耗能y噸間的幾組數(shù)據(jù)

（1）試畫出此表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖 ；

（2）若變量y與x線性相關(guān) ，試求出線性回歸方程y = b x + a ；

（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)耗能為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤 ，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程 ，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)耗能比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？

(參考公式，)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】五一放假期間高速公路免費(fèi)是讓實(shí)惠給老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某時(shí)間段內(nèi)車流量(單位:千輛/小時(shí))與汽車的平均速度(單位:千米/小時(shí))之間滿足的函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)），當(dāng)汽車的平均速度為千米/小時(shí)時(shí)，車流量為千輛/小時(shí).

（1）在該時(shí)間段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量達(dá)到最大值？

（2）為保證在該時(shí)間段內(nèi)車流量至少為千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大型超市在2018年元旦舉辦了一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱里放有2個(gè)紅球，1個(gè)黃球和1個(gè)藍(lán)球（這些小球除顏色外大小形狀完全相同），從中隨機(jī)一次性取2個(gè)小球，每位顧客每次抽完獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱.活動(dòng)另附說明如下：

①凡購(gòu)物滿100（含100）元者，憑購(gòu)物打印憑條可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；

②凡購(gòu)物滿188（含188）元者，憑購(gòu)物打印憑條可獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；

③若取得的2個(gè)小球都是紅球，則該顧客中得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金是一個(gè)10元的紅包；

④若取得的2個(gè)小球都不是紅球，則該顧客中得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金是一個(gè)5元的紅包；

⑤若取得的2個(gè)小球只有1個(gè)紅球，則該顧客中得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金是一個(gè)2元的紅包.

抽獎(jiǎng)活動(dòng)的組織者記錄了該超市前20位顧客的購(gòu)物消費(fèi)數(shù)據(jù)（單位：元），繪制得到如圖所示的莖葉圖.

（1）求這20位顧客中獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的人數(shù)與抽獎(jiǎng)總次數(shù)（假定每位獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的顧客都會(huì)去抽獎(jiǎng)）；

（2）求這20位顧客中獎(jiǎng)得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的顧客的購(gòu)物消費(fèi)數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)部分）；

（3）分別求在一次抽獎(jiǎng)中獲得紅包獎(jiǎng)金10元，5元，2元的概率.

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