在四面體ABCD中，已知AC⊥BD，∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求證：平面ABC⊥平面ACD．
考點：平面與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：作BE⊥AC，垂足為E，連結(jié)DE．由已知條件得AC⊥面BDE，由勾股定理得BD⊥DE，由此能證明平面ABC⊥平面ACD．
解答： 解：作BE⊥AC，垂足為E，連結(jié)DE．
∵BE⊥AC，BD⊥AC，BE∩BD=B，
∴AC⊥面BDE，又DE?平面BDE，∴AC⊥DE，
∴∠DEB是平面ABC和平面ACD所成的二面角的平面角，
設(shè)DE=a，∵∠CAD=∠BAC=45°，∠DEA=∠BEA=90°，
∴AE=BE=a，AD=AB=
2
a，
∵∠BAD=60°，∴BD=
2
a，
∴BD2=BE2+DE2，∴BE⊥DE，
∴∠DEB=90°，
∴平面ABC⊥平面ACD．
點評：本題考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（b＞0），若對于任意實數(shù)x，總有f（x）≥0，求
f(1)
b
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)d為實數(shù)，d≠0且d≠-1，數(shù)列{an}中a1=d，當(dāng)n≥2時，an=
C
0
n-1
d+
C
1
n-1
d2+…+
C
n-2
n-1
dn-1+
C
n-1
n-1
dn，數(shù)列{bn}對任何正整數(shù)n都有：anb1+an-1b2+an-2b3+…a2bn-1+a1bn=2n+1-n-2．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）判斷數(shù)列{bn}是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式；若不是，說明理由．
（Ⅲ）若d=1，cn=
3bn-1
3bn-2
，證明：c1c2…cn＞
33n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C過點A（1，
3
2
），兩焦點為F1（-
3
，0）、F2（
3
，0），O是坐標(biāo)原點，不經(jīng)過原點的直線l：y=kx+m與該橢圓交于兩個不同點P、Q，且直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列．
（1）求橢圓C的方程；     
（2）求直線l的斜率k；
（3）求△OPQ面積的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖給出的程序中，若輸入a=333，k=5，則輸出的b為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ex（sinx-1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-π，π]時，求函數(shù)的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）一個高為2的圓柱，底面周長為2π，求該圓柱的表面積；
（2）一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，求該圓錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以原點O和A（4，2）為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，
（1）求與
OA
同向的單位向量的坐標(biāo)
（2）求B點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）上運動．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+
π
4
）=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，求△ABM面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案