Question

15．在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為：ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-6．若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程及其參數(shù)方程；
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）是圓C上動(dòng)點(diǎn)，求x+y的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得圓C的直角坐標(biāo)方程，從而可得參數(shù)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，x+y=4+$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）=4+2sin（$θ+\frac{π}{4}$），即可求x+y的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)棣?sup>2=4ρ（cosθ+sinθ）-6，
∴x²+y²=4x+4y-6，
即（x-2）²+（y-2）²=2為圓C的直角坐標(biāo)方程．      …（4分）
所以所求的圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．                      …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，x+y=4+$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）=4+2sin（$θ+\frac{π}{4}$）        …（8分）
當(dāng) $θ=\frac{π}{4}$時(shí)，即點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（3，3）時(shí)，x+y取到最大值為6．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．