Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（x＞0），且f（1）+1=0
（1）求a的值
（2）求f（x）在點（e，f（e））處的切線方程（e=2.718…）
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）直接由f（1）+1=0求解a的值；
（2）把a代入原函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到函數(shù)在x=e處的導(dǎo)數(shù)值，再求出f（e），然后由直線方程的點斜式得答案；
（3）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值，比較端點值后得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-ax（x＞0），且f（1）+1=0，
則ln1-a+1=0，解得：a=1．
因此，f（x）=lnx-x；
（2）由f（e）=lne-e=1-e，
∴點（e，f（e））的坐標為（e，1-e），
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率k=f′(x)=

1

x

-1，
∴在點（e，1-e）處的斜率為k=f′(e)=

1

e

-1．
由直線方程的點斜式得：y-（1-e）=(

1

e

-1)(x-e)，
化簡得：y=(

1

e

-1)x；
（3）對函數(shù)f（x）=lnx-x求導(dǎo)得，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）=0，得：x=1．
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增		減

由表可知當(dāng)x=1時，f（x）取得最大值f（1）=-1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．