已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R總有f(x)+f(y)=f(x+y)且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-
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(1)求證:f(x)+f(-x)=0
(2)求證:函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù);
(3)求f(X)在[-3,3]上的最大值和最小值.
分析:(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)可令x=y=0 有f (0 )=0,令y=-x 代入即證
(2)設(shè)x2>x1則x2-x1>0,由已知當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0可得f(x2-x1)<0,則f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1)可證
(3)由(2)可得f(x)在[-3,3]上單調(diào)遞減,且f(1)=-
2
3
,從而可得函數(shù)有最小值,f(3)=f(1)+f(2)=3f(1);函數(shù)有最大值,f(-3)=-f(3)可求
解答:(1)證明:∵f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0 有f (0 )=0
令y=-x 有:0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
(2)證明:設(shè)x2>x1則x2-x1>0
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0
∴f(x2-x1)<0
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1
∴函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)
(3)解:由(2)可得f(x)在[-3,3]上單調(diào)遞減,且f(1)=-
2
3

當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)有最小值,f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-2
當(dāng)x=-3時(shí)函數(shù)有最大值,f(-3)=-f(3)=2
從而可得函數(shù)的最值為2,最小值為-2.
點(diǎn)評:本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)函數(shù)值,及利用賦值判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最值,利用構(gòu)造條件判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性的技巧要求體會掌握,是函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex,直線l的方程為y=kx+b.
(1)求過函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)P(t,f(t))的切線方程;
(2)若直線l是曲線y=f(x)的切線,求證:f(x)≥kx+b對任意x∈R成立;
(3)若f(x)≥kx+b對任意x∈[0,+∞)成立,求實(shí)數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠(yuǎn)離m.
(1)若x2-1比1遠(yuǎn)離0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,證明:a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
;
(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D={{x|x≠
2
+
π
4
,k∈Z,x∈R}
.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
;
(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ex
ex+1

(Ⅰ)證明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,
1
2
)對稱;
(Ⅱ)設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù),令g(x)=f-1(
x+1
x+2
),是否存在實(shí)數(shù)b
,使得任給a∈[
1
4
,
1
3
],對任意x∈(0,+∞).不等式g(x)>x-ax2
+b恒成立?若存在,求b的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∈CRQ
,則f(f(x))=
1
1

下面三個(gè)命題中,所有真命題的序號是
①②③
①②③

①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
②任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對x∈R恒成立;
③存在三個(gè)點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC為等邊三角形.

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同步練習(xí)冊答案