Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，三角形PAD為等邊三角形，平面APD⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，E，F(xiàn)分別為AD和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求點B到平面PAC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取DP的中點G，連接EG、FG．要證EF∥平面PAD，需要證面GEF∥面PAD，需要證 ，易得證明思路．
（2）求點B到平面PAC的距離常用體積相等來求解即v_B-PAC=V_P-ABC而三棱錐P-ABC的高利用題中的條件易知是PE在利用體積相等可求解．
解答：解：（1）取DP的中點G，連接EG、FG，
∵F是PC的中點，G是DP的中點，
∴GF是△PCD的中位線，GF∥CD∥AB；
∵G是DP的中點，E是AB的中點，
∴GE∥AP；
GE、GF⊆面GEF，GE與GF相交，∴面GEF∥面PAB，
∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAB．
（2）連接pE，EC
∵三角形PAD為等邊三角形且E為AD的中點
∴PE⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD
∴PE⊥面ABCD
∴PE⊥EC
∵AB=2，AD=1
∴PE=
∴PC=
∴
設(shè)B到面PAC的距離為h則v_B-PAC=V_P-ABC．．，
∴h=
點評：本題綜合考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積公式等知識點；求棱錐的高常用高的找法是輪換棱錐的頂點利用體積相等來求同時本題用了等過三角形的中點和勾股定理找垂直．