【題目】已知函數(shù)f(x)=2|x+2|﹣|x+1|,無窮數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a.
(1)如果an=f(n)(n∈N*),寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)如果an=f(an1)(n∈N*且n≥2),要使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求首項(xiàng)a的取值范圍;
(3)如果an=f(an1)(n∈N*且n≥2),求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=2|x+2|﹣|x+1|= ,

又n≥1且n∈N*,∴an=f(n)=n+3


(2)解:如果{an}是等差數(shù)列,則an﹣an1=d,an=an1+d,

由f(x)知一定有an=an1+3,公差d=3.

當(dāng)a1≥﹣1時(shí),符合題意.

當(dāng)﹣2≤a1≤﹣1時(shí),a2=3a1+5,由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3,得a1=﹣1,a2=2.

當(dāng)a1≤﹣2時(shí),a2=﹣a1﹣3,由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3,得a1=﹣3,此時(shí)a2=0.

綜上所述,可得a的取值范圍是a≥﹣1或a=﹣3


(3)解:當(dāng)a≥﹣1時(shí),an=f(an1)=an1+3,∴數(shù)列{an}是以a為首項(xiàng),公差為3的等差數(shù)列,

當(dāng)﹣2≤a≤﹣1時(shí),a2=3a1+5=3a+5≥﹣1,∴n≥3時(shí),an=an1+3.∴n=1時(shí),S1=a.n≥2時(shí),

又S1=a也滿足上式,∴ (n∈N*

當(dāng)a≤﹣2時(shí),a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1,∴n≥3時(shí),an=an1+3.∴n=1時(shí),S1=a.n≥2時(shí),

又S1=a也滿足上式,∴ (n∈N*).

綜上所述:Sn=


【解析】(1)化簡函數(shù)f(x)為分段函數(shù),然后求出an=f(n)=n+3.(2)如果{an}是等差數(shù)列,求出公差d,首項(xiàng),然后求解a的范圍.(3)當(dāng)a≥﹣1時(shí),求出前n項(xiàng)和,當(dāng)﹣2≤a≤﹣1時(shí),當(dāng)a≤﹣2時(shí),分別求出n項(xiàng)和即可.

練習(xí)冊系列答案
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(1)驗(yàn)證:y=4x﹣1是g(x)=2x2 , x∈[0,2]的“逼近函數(shù)”;
(2)已知f(x)= ,x∈[0,4],F(xiàn)(0)=F(4)=﹣M(a,b).若y=ax+b是f(x)的“逼近函數(shù)”,求a,b的值;
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A.
B.
C.
D.

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②曲線C關(guān)于點(diǎn)(﹣1,1)成中心對(duì)稱;
③若點(diǎn)P在曲線C上,點(diǎn)A、B分別在直線l1、l2上,則|PA|+|PB|不小于2k;
④設(shè)P0為曲線C上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P0關(guān)于直線l1:x=﹣1,點(diǎn)(﹣1,1)及直線f(x)對(duì)稱的點(diǎn)分別為P1、P2、P3 , 則四邊形P0P1P2P3的面積為定值4k2;其中,
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A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

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A.60里
B.48里
C.36里
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(3)在第二問的前提下,證明:﹣ <f′(x1)<﹣1.

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