某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖所示的拋物線一段,已知跳水板長為2m,跳水板距水面的高為3m,=5m,=6m,為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美,訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)m()時(shí)達(dá)到距水面最大高度4m,規(guī)定:以為橫軸,為縱軸建立直角坐標(biāo)系.
(1)當(dāng)=1時(shí),求跳水曲線所在的拋物線方程;
(2)若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求,求達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求時(shí)的取值范圍.
(1);(2).
解析試題分析:(1)由題意可以將拋物線的方程設(shè)為頂點(diǎn)式.由頂點(diǎn)(3,4),然后代入點(diǎn)可將拋物線方程求出;(2)將拋物線的方程設(shè)為頂點(diǎn)式,由點(diǎn)得.將用表示.跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求,所以方程在區(qū)間[5,6]內(nèi)有一解,根據(jù)拋物線開口向下,由函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系,令,由,且可得的取值范圍.
試題解析:(1)由題意知最高點(diǎn)為,,
設(shè)拋物線方程為, 4分
當(dāng)時(shí),最高點(diǎn)為(3,4),方程為,
將代入,得,
解得.
當(dāng)時(shí),跳水曲線所在的拋物線方程. 8分
(2)將點(diǎn)代入
得,所以.
由題意,方程在區(qū)間[5,6]內(nèi)有一解. 10分
令,
則,且.
解得. 14分
達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求時(shí)的取值范圍. 16分
考點(diǎn):1.拋物線的頂點(diǎn)式方程;2.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為直線上的點(diǎn),求直線的方程;
(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(I)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn),求的值;
(II)如果,證明直線l必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直
線的斜率之積等于m(m≠0),求頂點(diǎn)C的軌跡.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知△ABC中, 點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(-,0),B(,0)點(diǎn)C在x軸上方.
(Ⅰ)若點(diǎn)C坐標(biāo)為(,1),求以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)C的橢圓的方程:
(Ⅱ)過點(diǎn)P(m,0)作傾斜角為的直線l交(1)中曲線于M,N兩點(diǎn),若點(diǎn)Q(1,0)恰在以線段MN為直徑的圓上,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)點(diǎn)A(,0),B(,0),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若直線過點(diǎn)F(1,0)且繞F旋轉(zhuǎn),與圓相交于P、Q兩點(diǎn),與軌跡C相交于R、S兩點(diǎn),若|PQ|求△的面積的最大值和最小值(F′為軌跡C的左焦點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線焦點(diǎn)為,直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線相交于,兩點(diǎn)
(Ⅰ)若線段的中點(diǎn)在直線上,求直線的方程;
(Ⅱ)若線段,求直線的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是拋物線上相異兩點(diǎn),到y(tǒng)軸的距離的積為且.
(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過Q的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為R,與軸交點(diǎn)為T,且Q為線段RT的中點(diǎn),試求弦PR長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知一條曲線在軸右邊,上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都等于1.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點(diǎn)M的直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn),且,求直線的斜率.
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